Egy probléma és egy sejtés
A dialógus egy képzeletbeli tanteremben folyik. A hallgatókat érdekelni kezdi egy Probléma: van-e összefüggés a poliéderek – különösen a szabályos poliéderek – c csúcsainak, é éleinek és l lapjainak száma között, amely analóg a sokszögek csúcsainak és éleinek száma közti triviális összefüggéssel, vagyis azzal, hogy a sokszögeknek annyi csúcsa van ahány éle (c = é)? Ez az összefüggés teszi ugyanis lehetővé, hogy a sokszögeket az élek (vagy csúcsok) száma szerint osztályozzuk: háromszögek, négyszögek, ötszögek stb. Egy ezzel analóg összefüggés segítségével a poliédereket is osztályozni tudnánk.
Számtalan próbálkozás és tévedés után a hallgatók észreveszik, hogy minden szabályos poliéder esetében c – é + l = 2.(1) Az egyik hallgató úgy véli, hogy ez mindenféle poliéderre alkalmazható. A többiek megpróbálják megcáfolni ezt a sejtést, sokféleképpen vizsgálgatják, de továbbra is igaznak bizonyul. Az eredmények alátámasztják a sejtést, és azt sugallják, hogy bizonyítható is. A probléma és a sejtés felvetését követően lépünk most be a tanterembe. A tanár épp arra készül, hogy bebizonyítsa a sejtést.
Ómega: Ez igaz lehet. De a 4. szabály kétféleképpen értelmezhető. Mindeddig csak az első, gyengébb értelmezést vettük figyelembe: „könnyű finomítani és helyesbíteni a bizonyítást úgy, hogy a hamis lemmát egy némileg módosított lemmával cseréljük fel, amelyet majd az ellenpélda sem cáfol meg”; csupán a bizonyítás kicsit „gondosabb” vizsgálatára és egy „jelentéktelen módosításra” van szükség. Ebben az értelmezésben a 4. szabály csak helyi barkácsolás az eredeti bizonyítás keretein belül.
Én a másik – radikális – értelmezéssel értek egyet: a lemmát – vagy esetleg valamennyi lemmát – nem úgy próbáljuk kicserélni, hogy az adott bizonyításból a tartalom utolsó cseppjét is kifacsarjuk, hanem lehetőleg egy egészen más, átfogóbb, mélyebb bizonyítás kigondolásával.
Tanár: Például?
Ómega: Egyszer egy barátommal beszélgettem a Descartes–Euler-sejtésről, aki azonnal a következő bizonyítással próbálkozott: képzeljük a poliédert belül üresnek, valamilyen kemény anyagból, mondjuk kartonból készült felülettel. Belső felületére pontosan rá kell festeni az éleket. A belső rész legyen jól megvilágítva, s az egyik lapot tekintsük egy közönséges fényképezőgép lencséjének, mégpedig azt a lapot, amelyen át az összes élt és csúcsot szemléltető kép készíthető.
Szigma (félre): Fényképezőgép egy matematikai bizonyításban?
Ómega: Így egy síkbeli háló képét kapjuk, ez ugyanúgy kezelhető, mint a tanár úr bizonyításában alkalmazott hálórács. Az ott használt módszerrel be tudom bizonyítani, hogy ha a lapok egyszeresen összefüggők, akkor c – é + l = 1, s a fényképen nem látható lencse-lapot még hozzávéve megkapom az Euler-formulát. A fő lemma itt az, hogy a poliédernek van egy olyan lapja, amely – átalakítva egy fényképezőgép lencséjévé – úgy fényképezi le a poliéder belsejét, hogy valamennyi él és csúcs rákerül a képre. Most a következő rövidítést vezetem be: ahelyett, hogy „egy poliéder, amelynek legalább egy olyan lapja van, amelyen át az egész belső rész lefényképezhető”, azt mondom, „egy kvázikonvex poliéder”.
Béta: A tételed tehát így hangzik: Minden olyan kvázikonvex poliéder, amelynek lapjai egyszeresen összefüggők, Euler-féle.
Ómega: A rövidség kedvéért és e rendkívüli bizonyítás kitalálója iránti tiszteletből(2) inkább így mondanám: „Minden Gergonne-féle poliéder Euler-féle”.
Gamma: De van sok egyszerű poliéder, amelyik – bár teljesen Euler-féle – olyan csúnyán horpadt, hogy egyetlen lapján át sem lehet a belső részét lefényképezni. Gergonne bizonyítása nem mélyebb Cauchyénál, ellenkezőleg, Cauchy bizonyítása a mélyebb!
Ómega: Hát persze! Szerintem a tanár úr ismerte Gergonne bizonyítását, néhány helyi, de nem globális ellenpélda segítségével rájött, hogy nem kielégítő, és ezért az optikai – fényképészeti – lemmát a gyengébb topológiai – kinyújtást alkalmazó – lemmával helyettesítette. Így a mélyebb, Cauchy-féle bizonyításhoz nem „gondos bizonyításelemzést” követő csekély módosítással, hanem egy radikális, képzeletdús újítás segítségével jutott el.”
