1. Bolyai János életútja és a Tér tudománya
Bevezető szavak · Bolyai János életútjának állomásai · A Bolyaiak alakja a szépirodalomban ·
A Tér abszolút igaz tudománya · A Responsio · Prioritási kérdések
1. The Life of János Bolyai and the Science of Space
Introduction · Stages in the Life of János Bolyai · The Two Bolyais in Fiction ·
The Absolutely Valid Science of Space · Responsio · Questions of Priority
2. A Bolyai-ládák
A kéziratos hagyaték sorsa · Bolyai János följegyzései · Miért jegyzetelt Bolyai János? ·
Utinam Gauss superstes esset! · Matematikai természetű iratok ·
Milyen nyelven írt Bolyai? · Bolyai János jelrendszere
2. The Bolyai Chests
The Destiny of the Manuscript Collection · The Notes of János Bolyai ·
Why János Bolyai Made his Notes · Utinam Gauss superstes esset! ·
Notes of Mathematical Nature · Bolyai’s Language · János Bolyai’s System of Notation
3. Bolyai János matematikai olvasmányai
Bolyai matematikai műveltsége · Az alkotás örömei és gyötrelmei · Morzsák
3. Mathematical Readings of János Bolyai
János Bolyai’s Mathematical Knowledge · Pains and Pleasures of Creation · Crumbs
4. Bolyai János számelméleti vizsgálódásai
Néhány szó a számelméletről · Bolyai János és a számelmélet · A kis Fermat-tétel ·
A Mersenne-féle számok · Fermat karácsonyi tétele · A Fermat-féle számok ·
Wilson tétele · Bolyai János bűvös négyzete · Néhány más természetű számelméleti feladat
4. Number Theoretic Investigations of János Bolyai
A Few Words about Number Theory · János Bolyai and Number Theory ·
Fermat’s Little Theorem · Mersenne Numbers · Fermat’s Christmas Theorem ·
Fermat Numbers · Wilson’s Theorem · The Magic Square of János Bolyai ·
Other Number Theoretical Problems
5. A prímtan
A Bolyai-kutatás egyik fehér foltja · Gauss és a komplex egészek ·
A komplex egészek aritmetikája Bolyai kézirataiban ·
Bolyai komplex számokkal kapcsolatos elmélete · Befejező gondolatok
5. The Theory of Primes
A Lesser Known Aspect of Bolyai’s Work · Gauss and the Complex Integers ·
The Arithmetics of Complex Integers in Bolyai’s Manuscripts ·
János Bolyai’s Theory of Complex Integers · Conclusion
6. Az algebrai egyenletek elmélete
Az algebrai egyenletek megoldhatóságáról · Bolyai János kísérletei ·
A Ruffini–Abel-tétel megfogalmazása · A klasszikus algebra alaptételének
„tiszta” algebrai bizonyítása
6. The Theory of Algebraic Equations
On the Solvability of Algebraic Equations · János Bolyai’s Attempts ·
Formalizing the Ruffini–Abel Theorem · A „Pure” Algebraic Proof of the
Fundamental Theorem of Classical Algebra
7. A két Bolyai matematikai tartalmú leveleiből
Néhány mondat a levelekről · Bolyai János levele apjához · Bolyai Farkas levele fiához, Jánoshoz ·
Bolyai János levele apjához · Bolyai Farkas levele fiához, Jánoshoz ·
Bolyai János levele apjához · Bolyai Farkas levele fiához, Jánoshoz · Bolyai János levele apjához
7. From the Mathematical Correspondence of the Bolyais (1844–1855)
A Few Remarks on the Letters · János Bolyai to his Father ·
Farkas Bolyai to his Son, János · János Bolyai to his Father ·
Farkas Bolyai to his Son, János · János Bolyai to his Father ·
Farkas Bolyai to his Son, János · János Bolyai to his Father
8. Bolyai által használt műszavak és jelölések
Irodalom · Névmutató
8. Terminology and Symbols Used by Bolyai
Bibliography · Index
Előszó helyett
Bolyai János a magyar és az egyetemes tudomány egyik legnagyobb alakja. A magyar nép szellemi alkotóképessége, a tudomány terén, legmagasabb fokon benne öltött testet. Életét és munkásságát számos mű méltatta, sokan és szerencsére sokat írtak róla. Az előttünk járók szorgos munkájának köszönhetően ma már könyvtárnyi Bolyai-írással rendelkezünk. Rangos monográfiák, sok tudományos dolgozat és népszerűsítő cikk ismerteti életútját, a geometriában elért korszakalkotó felfedezését s a modern matematika kialakításában játszott szerepét.
Bolyai János, a matematikus réges-régen elfoglalta méltó helyét a tudományban. Nemcsak mi, magyarok, de az egész világ ismeri, becsüli a Bolyai nevet. A csillagászok – Hell Miksa, Eötvös Loránd, Neumann János mellett róla is elneveztek egy krátert a Holdon. A Mars és Jupiter közötti zónában keringő kisbolygók egyike szintén Bolyai János nevét viseli. Amikor az első magyar űrhajós a világűrben járt, Bolyai János fő művének egyik eredeti példányát is magával vitte. Ezzel jelezte, hogy az Appendix a magyar tudomány legragyogóbb 26 oldala.
Valahányszor a nevét említjük, szinte mindig geometriai eredményeit helyezzük előtérbe. Ez teljesen indokolt, hisz az abszolút geometria megalkotásával valóban egyedülálló eredményt ért el. Újabban sok szó esik társadalmi, filozófiai nézeteiről, s talán a Responsio is egyre ismertebbé válik a matematikatörténetben. Létezik azonban Bolyai János-nak még egy, kevésbé ismert fontos műve. Ez a halálakor ránk maradt kéziratos hagyatéka. A több ezer oldalnyi Bolyai-ereklye lapjai rejtik azokat a gondolatokat, amelyeket írójuk életének második felében magányosan, sivár környezetben jegyzett föl.
A Bolyai-hagyaték feltárása mintegy 100 évvel ezelőtt kezdődött meg. Paul Stäckel úttörő munkájának köszönhető, hogy a tudományos világ a századforduló idején megismerhette Bolyai János több, kéziratban maradt munkáját. A későbbi Bolyai-kutatás legtöbbször csak Stäckel észrevételeire és magyarázataira támaszkodott. Ő valóban jelentős munkát végzett, de mindent felölelni és valósan értékelni nem tudott. Könyve a benne fellelhető pontatlanságok és egyes hibák ellenére ma is a legrészletesebb, legalaposabb Bolyai-monográfia.
Lehet-e még újat mondani az Appendix tudós szerzőjéről? Vannak-e ma, 1997-ben fehér foltok a Bolyaira vonatkozó ismereteink térképén? – kérdezhetjük teljes joggal.
Az elmúlt évtizedekben, években megsejtve, hogy Bolyai János kéziratainak lapjai még rejtenek értékes matematikai tételeket, egyre többen sürgették, sürgetik a Bolyai-hagyaték átvizsgálását. Bár számosan forgatták már a kéziratokat, mégis különös, hogy több mint egy évszázad alatt nem akadt egyetlen magyar szakember, aki ezek rejtelmeibe néhány, főképpen geometriai eredmény vizsgálatán túl tüzetesen behatoljon. Pedig nagyszerű feladat felkutatni azt, hogy nagy művének megalkotása után mivel foglalkozott a többször csalódott, meg nem értett Bolyai János. E feladat elől viszont kitérni nem szabad, mert kötelességünk hagyományaink feltárása, nyilvántartása és közzététele.
Vajon igaz-e, hogy Bolyai János ízig-vérig geométer és eredeti gondolatai is mindig geometriai tartalmúak? Az eddig megjelent monográfiák szerzői ugyan megemlítik, hogy Bolyainak „szándékában állt” vagy „remélte” bizonyos nem geometriai feladatok megoldását, de arra a kérdésre, hogy valójában keresett-e és talált-e a maga által kitűzött kérdésekre választ, már nem adnak feleletet.
Kulturális-tudományos örökségünk feltárásának s ennek keretében a Bolyai-portré minél teljesebbé, igazabbá tételének igénye ösztönzött arra, hogy átolvassam, kibetűzzem a marosvásárhelyi Teleki-Bolyai Könyvtárban őrzött sok ezer oldalnyi Bolyai-kéziratot s megvizsgáljam, mit végzett az abszolút geometria megalkotója a matematika más területein. Nem vállalkozhattam legalábbis egyelőre a Bolyai által kutatott minden probléma feltárására. Eddig csupán azokra a vizsgálatokra összpontosítottam figyelmemet, amelyek során Bolyai János algebrai és számelméleti kérdések megoldását keresi. Az írások valósággal lenyűgöztek, s úgy érzem, hogy makacs, aprólékos munkám jutalmaként a „Bolyai-ládák” több új, eddig ismeretlen titkát, távlatát sikerült felfednem. Vallatóra fogva ezeket az írásokat kirajzolódott az eddig ismertnél egy árnyaltabb, teljesebb, színesebb Bolyai-kép.
Könyvemben felhasználva és kiegészítve a már megjelent részlettanulmányaimat Bolyai János-nak a kéziratos hagyatékban rejtőző olyan felfedezéseiről szeretnék tudósítani, amelyekről az eddigi igen tekintélyes Bolyai-irodalom semmit sem tud. Célom a Bolyai-kutatásban még mindig létező fehér foltok közül néhányat eltüntetni és másokat is felfedező útra buzdítani. Igyekeztem a korábbi szakirodalom tévedéseit kiigazítani s felhasználva a kiadatlan dokumentumokat, minden érvelésemet Bolyai János szavaival alátámasztani.
Munkám során, ahol csak tehettem, mindvégig elkerültem a másod- vagy harmadlagos forrásokat, és csak az elsődlegesekből, azaz a kéziratokból szereztem az ismereteket. Sok esetben tapasztaltam, hogy igen hasznos az eredeti források alapján ellenőrizni más szerzők állításait.
Igaz, hogy a hagyatékban nem találunk a Tér tudományához hasonlítható művet, de ha türelmesek vagyunk és elég mélyre ásunk, akkor felfedezzük, hogy a Bolyai-kéziratok még sok meglepetést tartogatnak számunkra. Fáradozásainkért bőven kárpótolnak azok a kincsek és gondolat-gyöngyök, amelyeket felszínre hozhatunk. Remélem, hogy e sorok olvasója is annak tekinti majd Bolyai János-nak azokat az észrevételeit, amelyek eddig a Teleki Téka polcain heverve nem váltak ismertté a matematikai irodalomban, de amelyeket később, évtizedekkel zseniális matematikusunk halála után, mások újra felfedeztek és különböző folyóiratokban közöltek.
Bolyai János kéziratos hagyatékának lapjain így idézi édesapja véleményét az írásról: „… Atyámként tán már több az író, mint az olvasó, s szinte már az érdemel emléket ki ugyan képes lévén olvasni és írni is, fontos és nyomós ok nélkül író nem lesz, …”. Bár átéreztem és megfontoltam Bolyai Farkas bölcs szavait, sok töprengés és habozás után elhatároztam, hogy mégis megpróbálok „író” lenni. Úgy érzem, hogy most „fontos és nyomós” okom van erre.
Az utóbbi években Bolyai János elszórtan hevert jegyzeteit, papírszeletkéit összesöpörve számos olyan, eddig rejtőzködő gondolatát sikerült napvilágra hoznom, amelyek ha megkésve is megérdemlik, hogy tanulmányokká dagadjanak. Bolyai mostoha sorsa miatt saját írásaiból mindössze csak 26 oldalt olvashatott nyomtatásban. Ezért a következőkben gyakran hagyom beszélni a szövegeket, hogy mindannak töredékét, amit már egyszer leírt, de nem tudott közreadni, most közösen juttassuk el az olvasóhoz.
Köszönettel tartozom mindazoknak, akik bátorítva kutatómunkámat rokonszenvvel és segítőkészséggel álltak mellém.
Az autográf Bolyai-iratokat a Teleki Tékában tanulmányozhattam. A könyvtár minden dolgozójának hálás vagyok állandó segítségéért. Munkám során végig éreztem, hogy tevékenységemet őszinte együttérzéssel követték, s örvendtek az elért eredményeknek.
Sokat jelentett számomra azoknak a folyóirat-szerkesztőknek a bátorítása, akik kézirataimat először fogadták el közlésre. Különösen Staar Gyula (a Természet Világa főszerkesztője) és Maurer I. Gyula (a Mathematica Pannonica főszerkesztője) karolták fel első kísérleteimet.
Nagyot lendített munkámon a Magyar Tudományosság Külföldön akadémiai program keretében meghirdetett Domus Hungarica Scientiarum et Artium ösztöndíjrendszerének támogatása, amelynek segítségével hosszabb időt tölthettem Budapesten s ott is folytathattam kutatásaimat.
Különös hálával tartozom Dr. Szendrei János-nak és Dr. Vekerdi László-nak, a kézirat lektorainak. Észrevételeikkel jelentősen hozzájárultak ahhoz, hogy a könyv értékesebbé váljék.
Marosvásárhely, 1997. december 15-én, Bolyai János születésének 195. évfordulóján.
Preface
János Bolyai is one of the greatest characters of both Hungarian and universal science. His life and works have been discussed by numerous authors; fortunately, they wrote much about him. The literature on him, thanks to the diligence of our precursors, could now fill a whole library. Noteworthy monographs, a number of scientific papers and popular articles trace his course of life, his landmark discovery in geometry and his role in shaping modern mathematics.
János Bolyai the mathematician has been granted a place in science worthy of him a long time ago. Not only Hungarians, but in fact the whole world knows and esteems the name Bolyai. Astronomers named a crater on the Moon after him, as well as after other Hungarians: Miksa Hell, Loránd Eötvös and János Neumann. One of the asteroids orbiting between Mars and Jupiter also bears his name. When the first Hungarian astronaut entered outer space, he carried with him a copy of the original edition of the main work of János Bolyai. He thus indicated that Appendix constituted the most glorious 26 pages of Hungarian science.
Whenever his name is mentioned, it is his results in geometry that are emphasized. This is certainly justified, since his creation of absolute geometry is truly an unequalled achievement. Recently, more and more attention has been paid to his social and philosophical views, and perhaps his Responsio is also becoming known in the history of mathematics. There exists, however, one lesser-known, nonetheless important work of János Bolyai: his manuscripts left to us after his death. The thousands of pages of the Bolyai relic contain those ideas that their writer recorded in the second half of his life, living in lonesome and dismal surroundings.
The processing of Bolyai’s heritage started about 100 years ago. The scientific world got acquainted with several manuscripts of János Bolyai, thanks to the pioneering work of Paul Stäckel published around the turn of the century. Ensuing studies of Bolyai were mainly based on the observations and explanations of Stäckel. His study is indeed significant, but he could neither take into account nor properly evaluate all aspects of Bolyai’s work appropriately. His book, in spite of occasional inaccuracies and errors, is the most detailed and thorough monograph on Bolyai to date.
Can anything new be said about the author of Appendix? In 1997, is now, our knowledge about Bolyai deficient in any way? These are some of the questions that come straight to mind.
Is it true that János Bolyai was a hundred percent geometrician and that all his original ideas were of a geometrical nature? The authors of the monographs published so far have mentioned that he “aimed to” or “expected to” come up with an answer to certain non-geometrical problems. They have not, however, answered the question whether Bolyai searched for and found answers to the problems set by himself.
I was urged by the feeling that it was necessary to explore our cultural and scientific heritage, and, at the same time, to make the portrait of Bolyai more complete and truthful. This urge led me to read through and decipher the thousands of pages of the Bolyai manuscripts at the Teleki-Bolyai Library of Marosvásárhely, and to investigate the results of the creator of absolute geometry in other fields. I could not, for the time being, venture to present all the problems examined by Bolyai. So far I have been focusing only on those parts of his research that were directed towards certain problems of algebra and number theory. These writings are truly fascinating, and I am confident that, as a reward of my steadfast and meticulous investigation, I have succeeded in disclosing some new and hitherto unknown aspects of the “Bolyai chests”. These writings have revealed a picture of Bolyai more detailed, complete and colourful than the one we used to have.
In this book, supplementing my previously published studies, I would like to report on those discoveries of János Bolyai which lay hidden in his collection of manuscripts and which the rather vast literature on him is entirely unaware of. My objective is to fill some of the gaps still existent in our knowledge about Bolyai, and to encourage others to do similar research. I have tried to put right some of the errors of earlier studies, and to support all my arguments with the words of János Bolyai, taken from still unpublished documents.
In the course of my work, whenever I could, I refrained from using secondary and tertiary sources, and acquired information only from primary ones, namely, the manuscripts. In many cases it has proven to be useful to contrast other authors’ assertions with the original writings.
It is true that no work comparable to the Science of Space can be found in the heritage, but if one has the patience to dig deep enough, one can unearth many surprises that the Bolyai manuscripts still have in store. The efforts are richly rewarded by those treasures and pearls of thought that can be brought to the surface. I sincerely hope that the reader will consider as such János Bolyai’s observations stored in Teleki Library. These ideas had remained hidden from the mathematical world, until they were discovered again and published in different journals by others, decades after the death of this brilliant mathematician.
On the pages of his manuscripts, János Bolyai quotes his father’s opinion about writing as thus: “…As my father has it, there may be nowadays more writers than readers, and perhaps those deserve mentioning who, being able to read and write, do not in want of a considerable and weighty reason become a writer…” Although I fully feel the significance of Farkas Bolyai’s wise words and have considered them at length, I decided, after much pondering and hesitation to try to become a “writer”. I believe that I do have a „considerable and weighty reason” to do so.
In recent years I have been scraping together János Bolyai’s scattered notes and slips of paper. Thus I have managed to bring to light many of his thoughts which deserve to be developed into full-fledged studies, even if belatedly. Bolyai, having had a hard fate, could only see 26 pages of his own work in print. Therefore, in what follows, I will often let his own words speak for themselves. I hope that this way we can jointly deliver to the reader at least a portion of what he once wrote down, but could never publish.
I wish to thank all those who encouraged my research and stood by my side with sympathy and readiness to help.
I had the opportunity to examine the autographic Bolyai papers in the Teleki Library. I am grateful to all the librarians for their constant help. Throughout my research, I felt that they were following my work with true sympathy, and that they were delighted at the results achieved.
I wish to acknowledge the encouragement of those editors who first accepted my manuscripts for publication. It was Gyula Staar, the editor-in-chief of Természet Világa [World of Nature] and Gyula I. Maurer, editor-in-chief of Mathematica Pannonica who provided support right at the beginning. The grant of Domus Hungarica Scientiarum et Artium, offered as part of the academic programme Hungarian Scholarship Abroad, also gave a decisive push to my work. It made it possible for me to spend some time in Budapest and continue my research there. I owe special thanks to Dr. János Szendrei and Dr. László Vekerdi, the reviewers of the manuscript. Their remarks have greatly helped in making this book more valuable.
Marosvásárhely, 15th December 1997, on the 195th anniversary of the birth of János Bolyai.
2.4. Utinam Gauss superstes esset!
Fájdalom, Bolyai János tipikus példája a szerencsétlen sorsú tudósnak. Éveit keserű csalódások kísérték. Még kamasz, amikor csalódnia kellett eszményképében, Gauss-ban, amiért apja legmeghittebbnek vélt barátja nem fogadta őt házába. Miután zseniális geometriája nem kapta meg a kellő elismerést, öt év múlva egy újabb rendkívüli mű megírására vállalkozott, de a pályabírák a Responsiót sem értették meg, ő megint csak a csalódással maradt. Még városa is, a legjobb esetben közönnyel szemléli vívódásait. Tragédiának nevezhetjük életét, mert nagyszerű felfedezéseit a maradi társadalom képtelen volt befogadni. A Tentamen egyik példánya az Appendixszel együtt a Magyar Tudományos Akadémia polcain porosodott, de életében Bolyai János-nak még a neve sem hangzott el ennek falai között. A Tentamen köteteit Bolyai Farkas küldte el a Magyar Tudós Társaság címére mindjárt a megjelenésük után. Az I. kötetet 1833 augusztusában küldte meg, a II. kötet ajándékozását 1835. május 1-jén jelenti a főtitkár. Ezek a példányok ma is megtalálhatóak a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtárában (az 542.012 könyvtári jelzet alatt). Mindkét kötetben az előzéklapon autográf írással ez olvasható: A m.t. társaságnak Bolyai Farkas mint szerző”.
Döbrentei Gábor titoknok, akihez a küldemények érkeztek, még augusztus 29-én válaszolt Bolyai Farkas-nak: „Könyvedet tehát nevedben a Társaságnak október 1-ső napján adom majd bé…”. Figyelemre méltóak a levél következő mondatai: „Rád nézve is egyenesen írtam midőn kívántam, hogy mathesisi munkádat magyarul írd, mivel 3d vidéki rendes tagnak óhajtottalak majd 300 pengő forinttal, ami mellett már ezután deák munkád miatt nem szólhatok; fijadra a Kapitányra nézve is az a barátságos észrevételem van, hogy ha magyarul adja ki munkáját lehet még helybeli tag itt 500 pengő forinttal, mely summa penziójához egykor jól járulna; lehet vidéki rendes tag 300 pengő forinttal”.
Döbrentei úgy vélte, hogy a latin nyelvű Tentamen miatt nem vetheti fel a Tudós Társaságban Bolyai Farkas rendes tagságának ajánlását. 1835 szeptemberétől már nem Döbrentei volt a Társaság titoknoka. Utóda nyilván nem ismerte közelebbről Bolyai Farkas-t. A körülmények kedvezőtlen alakulása folytán többé nem került sor a rendes tagsági ügyre.
Sajnos a reformkori Akadémia nem kis mértékben hibás, hogy Magyarországon a természettudományok terén nem alakulhatott ki olyan szellemi klíma, mely alkalmas lett volna korszerű gondolatok befogadására. Az igazi tragédia – írja VEKERDI LÁSZLÓ – a matematikában zajlott le, jóvátehetetlenül. A Matematikai Osztály tagjai hatalmas buzgalommal, de hiányos szakmai hozzáértéssel láttak hozzá tisztüknek. Ítéleteik felületesek, s többnyire személyes kapcsolataik által irányítottak. Ez volt az oka annak, hogy tudós társaságunk eléggé szégyenletesen bánt a két Bolyai munkáival. Így például Vállas Antal a honi matematikai irodalom áttekintésében (Tudománytár 1836) hosszan dicséri Nagy Károly aritmetikáját, de felsorolásában csak megemlíti Bolyai Farkas remekét, Az aritmetika elejét, sőt a Tentament is, anélkül, hogy egyetlen elismerő vagy akárcsak tárgyilagosan ismertető szót is vesztegetne rájuk.
A Matematikai Osztály rendes tagjai az Akadémia Könyvtárában meglévő Tentamen-példányt (s annak „Függelékét”) még csak meg sem nézték. Pedig Bolyai Farkas fő művének magyar nyelvű átdolgozását is felajánlotta: „hogy diák halottja valaha salakjából megtisztulva magyarul támad fel”. Valósággal megdöbbentő, hogy a Tentamen mennyire ismeretlen maradt. A Tudós Társaság például 1844-ben a paralelák problémáját javasolta jutalomkérdésnek, holott a Tentamen és benne az Appendix egy példánya már 12 éve ott feküdt a Társaság könyvtárában. Nem kell túlságosan nagy képzelőerő ahhoz, hogy belássuk, mit tehetett volna az Akadémia, ha még idejében s itthon kellő helyre kerülhetett volna Bolyai János fölfedezése.
Mégis mennyi elismerés jutott élete folyamán Bolyai János-nak? Talán Gauss kétes értékű mondatai közül a következő: „Nagyon meglepett… és nagyon örvendek, hogy éppen régi barátom fia az, aki engem ilyen csodálatos módon megelőzött”. A levél többi sorai, sajnos, erősen tompítják ezeket a szavakat.
Számos írásából úgy érezzük, hogy nem vágyódott a külső dicsőségre. „…nem vágytam – írja önéletrajzában – az afféle, mások által vadásztatni szokott, külső halhatatlanságra…” (1086). Inkább megértésre, mint dicsőségre áhítozott. A tudósnak az a fizetsége, ha fáradságos munkájával megtalálja az igazságot. Azzal vigasztalta magát, hogy a feltalálás öröme vetekszik mindenféle elismerés dicsőségével. Ugyanakkor minden sorából kiérződik, hogy ennek a beteg, magányosságában megkeseredett embernek szigorú homlokráncai ugyancsak kisimulnának az elismerés akármilyen parányi sugarától is.
Amikor abban reménykedik, hogy sikerül megtalálnia a prímszámok képletét, apjának írt egyik levelének oldaljegyzetében így kiált fel: „Utinam Gauss superstes esset!” [Bárcsak Gauss még élne!]. Erre és még sok más hasonlók eléggé legtekintélyesebb méltányolhatására nézve is” (800/1).
Lehet-e közömbösen olvasni Bolyai János kívánságát? Ki ne érezné ebből a néhány szavas széljegyzetből Bolyai titkos vágyát, hogy bárcsak Gauss is tudomást szerezne az ő fontos felfedezéséről? Végül is mennyire sóvárgott az elismerésért. S ezt egész életében leginkább Gauss-tól várta.
„Bolyai János-t nem az elismerés kimaradása – írja Sarlóska Ernő –, hanem a reátörő gondolatok árja sodorja ki társadalmából. Nem a barikádokon kell keresni hozzá a mindent megmagyarázó tettet. A tizenkilencedik század nagy magányosai szolgáltatják a kulcsot sorsához, azok a sóhajok, melyek keseredetten először adnak számot a kalandról, mely arra vár, ki az ideák ingoványába téved”.