Matematika az Isteni színjátékban

A Dante műveiben általában és különösen az Isteni színjátékban található számos matematikai tartalom feltárása és bemutatása immár legalább egy évszázados múltra tekint vissza. Mégis, az úgynevezett „humán” és a „reál” kultúra összekapcsolódása még mindig meglep egyeseket.

A matematikai jellegű sorok és témák elemzése során itt csak néhány példára szorítkozom, és inkább a matematikai hovatartozás, mint az itáliai költők legnagyobbikának lírai költészetével kapcsolatos okok alapján különböztetem meg őket, és a bibliográfiában hivatkozott írásokhoz irányítom azokat, akik többet szeretnének megtudni. A matematika történelmi sarokköveire, az aritmetikára és a geometriára szorítkozom, de felhívom a figyelmet, hogy vannak olyan rendkívül jelentős pillanatok, melyekben a logika és a geometriai optika is szerepet játszik, és amelyekkel kapcsolatban ismét a bibliográfiára hivatkozom.

Ezeknek a matematikai tanulmányoknak semmi közük a numerológiához, amelyet az amatőr kutatók vagy a számmetaforák lelkes vadászai művelnek. Köztudott, hogy a középkori lírai költészetben a „metrikus mértékek” és a számok jelenléte figyelemre méltó volt – gondoljunk Petrarca (1304–1374) stancáira¹ –, és arra, hogy bár a numerológiai miszticizmus sokkal több volt annál, mint amit ma puszta kuriózumnak tartanak, de felesleges lenne a matematikát ilyen számtani banalitásokra alkalmazni.

Itt inkább olyan sorokat szeretnék bemutatni, amelyekben a matematika komoly szerepet játszik, nem utolsósorban azért, hogy megmutassam, a középkorban és különösen Dante esetében „két kultúráról” beszélni legalábbis félrevezető.

1. Aritmetika

Dante 1290-től (tehát 25 éves korától) körülbelül 30 hónapon át a filozófiát és különösen Boethius tanításait tanulmányozta, amint azt a Convivio (Vendégség) című művéből megtudjuk. Anicius Manlius Torquatus Severinus Boethius (480–524) a De consolatione philosophiae (A filozófia vigasztalása) szerzője, azonban nemcsak Nikomakhosz (i. e. 4. század) és Eukleidész (i. e. 4–i. e. 3. század) műveinek fordítója, hanem maga is tehetséges matematikus, értékes geometriai és aritmetikai értekezések szerzője. Ő írja például a De institutione aritmetica (Az aritmetika institúcióiról) című művet. (Dante a Paradicsom X. énekének 125–129. soraiban találkozik vele).

Milyen és mennyi matematikát ismert Dante? Köztudott, hogy az Isteni színjáték gazdag numerológiai utalásokban, azonban a számmisztikához szükséges számítások általában nem igényelnek nagy matematikai jártasságot. Ezért nem a numerológus Danténál kell keresnünk a választ a kérdésünkre, hanem inkább a valódi matematikai tudás jelenlétére kell összpontosítanunk. Ezzel a problémával számos tekintélyes szerző foglalkozott, mint például Beniamino Andriani. Andriani, 1981 Én tehát kevés újdonságot remélve fogok megfontolásokat hozzáfűzni.

Tudjuk, hogy Dante a firenzei Santa Croce ferences kolostorban, majd úgy tűnik, a Santa Maria Novella dominikánus kolostorban tanult, először Studium Solenne-ban, majd 1295-től Studium Generale-ban. Firenzében iskolamesternek lenni nem volt ugyanaz, mint más városokban. Firenzében és egész Toszkánában magas presztízsű abakuszmesterek lehettek. Tudjuk például, hogy Dante unokaöccse, Jacopo (1289–1348) még tanítványa is volt Paolo dell’Abaconak (Paolo Dagomari di Prato) (1282–1374), aki a kevés abakusz iskola egyikében, a Santa Trinita templommal szemben tanított.

Esetleg Dante kapcsolatba került az abakusz használatáról szóló traktátussal (Trattato d’abbaco, azaz Az abakusz használata), amelynek Paolo a nevét köszönheti? Gino Arrighi (1906–2001) szerint úgy tűnik, hogy bár Paolo értekezése 1339 körül került nyilvánosságra, nem kizárt, hogy léteztek előzetes változatok, vagy ha más nem is, de részletek, például iskolai jegyzetek formájában.

Dante talán tudásszomjában kapcsolatba került Leonardo Fibonacci (Bonaccio fia) (1170–1242 körül) Liber abaci (Az abakusz könyve) című művével?

Úgy tűnik, hogy Dantét nagyon érdekelte kora tudományos kultúrája: még gyermekként részt vett Hispán Péter (1220–1277) néhány óráján, ahol minden bizonnyal megtanulta a heurisztikus módszer hatékonyságát a tudományokban – még ha meglehetősen naiv módon is.

Azonban néhány részlet még mindig vitára ad okot, ezért különösen érdekes lenne, ha pontos válaszokat kaphatnánk az előző kérdésekre. Annak ellenére ugyanis, hogy a firenzei Arte del Cambio 1299-es statútumának egyik cikkelye tiltja az arab számjegyek használatát, az abakusz traktátusok matematikai írásmódjában meglehetősen elterjedt az arab-indiai rendszer használata, és ebből következően az egyre hatékonyabb számítási algoritmusok használata.

Ez teljes egészében a következőket jelenti:

• helyiérték rendszer használata
• tízes alap
• a nulla számjegyként használata.

Mindezek abszolút újdonságok a latin számoláshoz képest, amelyben nincs helyiérték, nincs nulla (nincs is rá szükség), míg a tízes szám meghatározó szerepet játszik benne, még ha nem is „alapként”, ahogyan később Fibonacci és mások munkásságának köszönhetően elterjedt.

Egy híres matematikára vonatkozó passzus a Paradicsom XV. énekének 55–57. soraiban található:

Tu credi che a me tuo pensier mei
da quel ch’è primo, così come raia
da l’un, se si conosce, il cinque e ’l sei;

Te fölteszed, hogy gondolatodat
az Első úgy vetíti rám, ahogy
az 1-ből vetül ki az 5, a 6 […]
(Nádasdy Ádám fordítása)

Azt hiszed, minden eszméd úgy belémgyűl
abból, ki Első – mint, ha jól megérted,
a kettő-három-négy az Eggyen épül
(Babits Mihály fordítása)

Ezek azok a híres mondatok, melyeket Cacciaguida (kb. 1091–1148) Danténak címez:

„Te, aki szilárdan hiszed, hogy gondolataid közvetlenül Istentől származnak és közvetlenül Isten által tárulnak fel az első Lényből és minden dolog kezdetéből, úgy, ahogy az egység ismeretéből származik az összes többi szám.”. Sapegno = Alighieri, 1985

A modern korban azt mondhatjuk, hogy az egységet tekintve meg lehet alkotni a természetes számokat…, n, n+1, …, azaz az összes természetes számot. Valójában a matematikusok által ma általánosan használt n jelölés egy tetszőleges természetes számra sokkal újabb keletű. Az „öt és a hat”, ahogy Natalino Sapegno (1901–1990) megjegyzi Alighieri, 1985, tetszőleges egymást követő természetes számokat jelöl. Ugyanakkor már Eukleidész is, amikor a prímszámok számosságát vizsgálja, tetszőleges hármat választ közülük (utalok a híres tételre: „Bármely véges prímszámhalmaz esetén mindig található egy újabb prímszám, mely nem szerepel a halmazban”, ami az Elemek IX. könyvének 20. tétele.²)

Mindezeket figyelembe véve úgy tűnik számomra, hogy Dante kijelentésének nincs olyan nagy matematikai jelentősége és úgy vélem, hogy mindenki, még egy szerény műveltségű ember is megérti, hogy az egységgel rendelkezve viszonylag könnyen megalkothatunk vagy elérhetünk bármilyen más számot annak ismételt hozzáadásával. Ezt azért hangsúlyozom, mert ebben a mondatban sokan akár Giuseppe Peano (1858–1932) intuíciójának némi előképét is látni vélték, aki, mint ismeretes, kidolgozta a természetes számok axiomatikus rendszerét. Ez az értelmezés, még Dante iránti minden szeretetünk és megbecsülésünk ellenére is, túlzónak tűnik számomra.

Sokkal érdekesebb, hogy a Paradicsom VIII. énekének 91–93. soraiban találok egy másik matematikai utalást:

L’incendio suo seguiva ogne scintilla;
ed eran tante, che ’l numero loro
più che ’l doppiar de li scacchi s’inmilla.

Minden szikra saját tüzét követte,
több volt, mint mikor kettővel szorozzák
sorban a sakktábla négyzeteit!³
(Nádasdy Ádám fordítása)

Szikrák követték lángjait azoknak
és többre gyűltek, mintha kicsi számot
duplázol egyre kockáin a sakknak.
(Babits Mihály fordítása)

E sorokról máshol már hosszasan írtam, ezért itt nem ismétlem magam. D’Amore, 1991 D’Amore, 2020 Sok más aritmetikai passzus is megjelenik, az Isteni színjátékban. Szeretném felidézni azt a hasonlatot, amelyet Dante a Convivióban az aritmetika és a Nap között von: ahogyan a Nap megvilágítja a többi égitestet, és a látványa hosszan fenn nem tartható, úgy az aritmetika megvilágítja és áthatja az összes többi tudományágat. Tehát a számok végtelenségén az értelem szeme nem tud megállni, „mert a szám, ha önmagában nézzük, végtelen, s így nem érthetjük meg” (Szabó Mihály fordítása; Convivio, 1965 II XIII 1030-1).

2. Geometria

Köztudott, hogy Dante Beatrice (1265 körül–1290) halála után egyházi iskolákat és filozófiai vitákat látogatott, Cicerót (i. e. 106–i. e. 43) (retorika) és Boethius-t olvasott. Az előző fejezetben Boethius elsősorban az aritmetikával kapcsolatban szerepelt, de ne felejtsük el, hogy ugyanaz a Boethius fordította le Eukleidész-t is. Boethius tanulmányozása során tehát elkerülhetetlen volt a találkozás a zseniális alexandriai művével.

Ráadásul a második évezred első évszázadaiban szorgalmas fordítók munkálkodtak. Tivolii Platón (Platone da Tivoli; Plato Tiburtinus) (kb. 1110–1145) számos matematikai művet fordított le héberből: azokat, amelyeket Ávráhám bár Chijá (12. század) viszont görögből és arabból fordított. Tivolii Platón fordította a híres Liber embadorumot (Mérések könyve) is, amelyet akkoriban meglehetősen széles körben terjesztettek. 1175-ben Gerhardus Cremonensis (1114–1187) arabból latinra fordította Eukleidész-től az Elemeket, de bathi Adélard (kb. 1080–1152) már fél évszázaddal korábban elkezdte ezt a munkát.

Továbbá az abakuszkönyvek (a korábban említettek is) szinte mindig tartalmaztak geometriai szabályokat, legtöbbször földmérők, kőművesek vagy kézművesek számára alkalmas gyakorlati ismereteket. A kereskedőknek, vagyis azoknak, akik a matematikát mindenkinél többet használták, kevésbé volt szükségük a geometriára, és ezért kevés mesterségbeli tudást mutattak ezen a téren.

Ami azt illeti, a szigorú deduktív rendszerként értelmezett euklideszi geometria tanulmányozását nem lehetett gyakorolni a kevésbé képzett abakuszmestereken keresztül, hiszen mélyebb elemzést igényelt, ami általában a filozófián keresztül történt. És itt van a lényeg: talán Arisztotelész (i. e. 384–i. e. 322) tanulmányozása, amelyet Dante bizonyos bátorsággal és rendkívüli alapossággal végzett, szükségszerűen vezetett többek között a geometriával való számvetéshez.

Dante egyik leghíresebb geometriai passzusa minden bizonnyal a Paradicsom XXXIII. énekének 133–138. soraiban található:

Qual è ’l geomètra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige,

tal era io a quella vista nova;
veder volea come si convenne
l’imago al cerchio e come vi s’indova;

Mint mértantudós, aki azt kutatja:
a kört hogy mérje meg, gondolkodik,
de a szükséges elvet nem találja,

úgy álltam ott az új látvány előtt.
Látni akartam, hogy illeszkedik
a körbe a képmás? Hogy férnek össze?
(Nádasdy Ádám fordítása)

Miként a mérnök, ki a kört szeretné
megmérni, töpreng, hogy titkába lásson,
de mérő elvét hasztalan keresné:

ollyá tett engem ez uj látomásom
töprengve tudni, hogyan egyesűle
kör a képpel, s hogy árad át egymáson
(Babits Mihály fordítása)

Ezeken a sorokon, melyek lehengerlő szépségükkel és jelentéstartalmukkal kiemelkednek Dante túlvilági utazásának minden más pillanatából, érdemes elidőzni.

Hogy mit értünk a „vista nova” (új nézőpont/megközelítés) alatt, az olyan jól ismert, hogy sértő lenne az olvasó számára, ha egyáltalán megemlítenénk, de hogy mi köze van a „vista novának” a „körméréshez”, azt nem lehet azonnal megérteni. A tanárok és a diákok ilyenkor az iskolai tankönyvek lapjainak alján elhelyezett kritikai jegyzeteket keresik fel. A legelterjedtebb ilyen szövegben Alighieri, 1985 Natalino Sapegno jól ismert magyarázata olvasható:

„mint a geométer, aki minden szellemi képességét a kör négyszögesítésének megoldhatatlan problémájára összpontosítja […] ilyen voltam én is a rendkívüli látomás előtt, amely hiába […]” (a dőlt betűs kiemelés a szerzőtől származik).

Mi a probléma pontosan a kör négyszögesítésével?

Ezt legalább kétféleképpen lehet kifejezni, amelyek egyenértékűek egymással:

• Adott egy kör, találjunk egy olyan négyzetet (vagy téglalapot), amelynek kerülete megegyezik a kör kerületével;
• Adott egy kör, találjunk egy olyan négyzetet (vagy téglalapot), amelynek területe egybeesik a kör területével.

Ezt a problémát már a görög ókorban is ragyogóan megoldották, pl. Dinosztratosz (kb. i. e. 390–i. e. 320), de nem csak ő. Erről lásd a számos tanulmányt, amelyeket például Carruccio, 1964 felsorol és illusztrál. Ez nem csak a matematikusok, hanem a művelt emberek körében is ismert volt, amelyet többek között athéni Platón (kb. i. e. 428–i. e. 348) is kifejtett.

A még nagyon fiatal, kezdő diákoknak elmagyarázzák, hogy egy kör kerülete, melynek sugara r, 2rπ. Ezért ha veszünk egy téglalapot, amelynek oldalai r és r(π–1), akkor a kör kerülete és ennek a téglalapnak a kerülete megegyezik. Így egy olyan kör területe, amelynek sugara r, r²π; ezért egy téglalap, amelynek oldalai rπ és r, a kör területével megegyező területű lesz.

De akkor hol van a probléma megoldásának lehetetlensége?

Dante célzhatott valamire! A görögök mindenekelőtt esztétikai okokból részesítették előnyben a „körzővel és vonalzóval” való megoldásokat. Ez a kitétel algebrailag valami fontosabbat rejt, mint a két konkrét eszközre való puszta utalás: lásd Carruccio, 1964. Itt most elhallgatom a minden matematikus számára jól ismert technikai kérdéseket; a nem matematikus olvasó úgy értelmezheti, hogy valójában körző és vonalzó használatáról van szó.

Dinosztratosz és más görög tudósok által is megadott megoldás a kör négyzetre való felosztására valóban helyes, de azt nem körzővel és vonalzóval kapták!

Hiába próbálták évszázadokon át először a görög matematikusok, majd fokozatosan az összes többi is, a kört négyszögesíteni ezekkel az eszközökkel. Ma már tudjuk, hogy ez lehetetlen, amit Ferdinand von Lindemann (1852–1939) bizonyította be, de csak 1882-ben. A görögöknek ezt, ha hallgatólagosan is, intuitíve kellett feltételezniük: nem lehet véletlen, hogy a három legkedveltebb és legtöbbet tanulmányozott problémát (a „görög geometria három klasszikus problémáját”⁴, amelyet Platón idézett), köztük az itt tárgyaltat, gyakran vették példaként alapul oly sok matematikai és filozófiai kérdésben.

Tehát a kör négyszögesítése nem lehetetlen, de az említett módon, az előírt eszközökkel nem lehetséges. Kritikusunk megjegyzése tehát legalábbis félrevezető. A Paradicsom XXXIII. énekének 133–138. sorainak tulajdonítandó jelentés sokkal mélyebb.

Most az a kérdés, mivel Dante nem mondja ki egyértelműen, hogy „körzővel és vonalzóval”, hogy ő is tévedésbe esett, vagy éppen ellenkezőleg, ismerte a feladatot, és úgy vélte, hogy olvasói ugyanolyan jól ismerik, ezért nem érdemes szőrszálhasogatónak lenni. Erre soha nem fogunk választ kapni, de a Dante munkásságában megfigyelhető geometriai jártasság alapján több szerző azt a meglehetősen merész következtetést vonta le, hogy itt a mai helyzettel ellentétben a kultúra egységének újabb példájával állunk szemben. Danténál a „két kultúra” együtt élt. A mai olvasók, sajnos, gyakran nem csak nem matematikusok, hanem egyenesen antimatematikusok, mert a matematikát néha ostoba módon üres dolognak és „száraznak, mint a kő” tartják, ahogy a filozófus Giovanni Gentile (1875–1944) szokta mondani. Azt azonban el kell mondani, hogy a „kör négyszögesítése” gyakran egy másik, bár az előzővel teljesen egyenértékű feladathoz kapcsolódik, nevezetesen egy adott kerület hossza és sugara közötti arány pontos értékének megtalálását, amely arány minden kerület esetében azonos.

Nos, itt egy teljesen más történetnek kellene kibontakoznia. Arisztotelész a Kategóriákban (7b 31–33)⁵ azt állítja, hogy egy ilyen probléma „még” nem tudományos, vagyis – Giorgio Colli (1917–1979) kritikai fordítását követve – „Nincs olyan tudomány, amely ezzel a négyszögesítéssel foglalkozna, bár a probléma mint tudományos téma létezik” Arisztotelész, 1955; feltételezhetjük, hogy Dante inkább ezekre a kijelentésekre támaszkodott, mint Boethius megjegyzéseire, amelyek e tekintetben nem éppen pontosak, különösen Arisztotelész előző passzusának kommentálása során. Boethius ugyanis azt állítja, hogy a probléma megoldódott. Ezzel kétségtelenül a π értékére utal, amelyet általában a görög matematikusra, hérakleai Brüsszosz-ra (kb. i. e. 450–i. e. 390) vezetnek vissza, akit Arisztotelész elítélt, sőt nevetségessé tett, de számos geométer elfogadott. Valójában azt kell mondanunk, hogy Brüsszosz hozzájárulása ehhez a kérdéshez még mindig sokat vitatott és nem teljesen tisztázott. A π-re Brüsszosz által javasolt érték, a 22/7 megfelel az Arkhimédész (i. e. 287 kb.–i. e. 212) által később meghatározott két szélsőérték 3+10/71 < π < 3+1/7 közül a felsőnek. Egyes kutatók szerint valójában Brüsszosz nem utal a 22/7 értékre, és csak arra szorítkozik, hogy a körbe írt és a kör köré írt négyzet között van egy olyan, amely egyenlő területű a körrel. Lásd Gino Loria (1862–1954) megjegyzéseit Loria, 1914, 96–97. p..

Most egy meglehetősen összetett rejtéllyel állunk szemben.

Vajon Dante olvasta Arkhimédész-t? A válasz nehéznek tűnik.

Még ha nem is olvasta, ismerhette a szirakuzai számításait hallomásból? Lehetséges. Vajon Dante valóban elfogadta a 22/7-es értéket, amely az ő korában széles körben elterjedt volt, de amelyet a legkifinomultabb geométerek elutasítottak? Ha Dante azt állítja a Paradicsomban, hogy ilyen pontos arányszám nem létezik, akkor milyen pontos számítást kell elvégezni a Pokol XXIX. énekének 7–9. soraiban a híres kör alakú mélyedések méretével kapcsolatban?

Hogyan lehetséges, hogy Dante, aki hűséges olvasója Boethius-nak, nem fogadja el az általa javasolt π értéket?

És így tovább.

Minden kérdésre dátumokkal lehetne válaszolni: Arkhimédész műveit a flamand szerzetes moerbekei Vilmos (1215–1286) fordította, ez igaz, de ezek csak nagy nehézségek árán terjedtek el. Például hozzájutott egy nagyon ritka példányhoz Tartaglia (Nicolò Fontana da Brescia) (1499–1557), aki 1543-ban és 1565-ben úgy állította be, mintha Vilmos fordításait maga készítette volna (az önmaga számára tulajdonított érdem, amely a kiváló bresciai matematikus egyik jellegzetes vonása volt, csak 1884-ben derült ki, amikor a vatikáni könyvtárban egy másik ritka Vilmos-fordítást találtak). Loria, 1929 Maracchia, 1979

Bonyolítja a helyzetet az a tény, hogy Dante ismerte Brüsszosz-t: a Paradicsom XIII. énekének 121–126. soraiban megemlíti őt, mégpedig az eleai Parmenidész-szel (i. e. VI–i. e. V. század), a szamoszi Melisszosz-szal (kb. i. e. 470–i. e. 430) és más nagyságokkal együtt, Andriani, 1981, 145–146. p. de negatív hangnemben, annak demonstrálására, hogy a téves érvelés eltorzítja magát az igazság eszméjét (Paradicsom XIII. ének 124–126. sorok):

E di ciò sono al mondo aperte prove
Parmenide, Melisso e Brisso e molti,
li quali andaro e non sapëan dove;

A világban sok ilyen példa van,
mint Parmenidész, Melisszosz, Brüszón
és mások: mentek, s nem tudták, hová.
(Nádasdy Ádám fordítása)

Példát vehetni erről annyi száztól,
Parmenidés-, Melissus-, Brissus-, és még
– aki ment és nem tudta, hova – mástól.
(Babits Mihály fordítása)

A kérdés története izgalmas, és egyelőre nincs egyértelmű végkövetkeztetés.

Tovább kutatva a geometriai jellegű részletek után, az Isteni színjátékban olyan hasonlatokra, példákra vagy parafrázisokra bukkanunk, amelyek hivatkozási kerete éppen a geometria — még akkor is, amikor bármely más terület is szóba jöhetett volna.

Például a Paradicsom XIII. énekének 88–101. soraiban a következő problémát tárgyalja: van-e ellentmondás Ádám és Krisztus (kb. i. e. 7–i. u. 30) tökéletes bölcsessége, valamint Salamon (kb. i. e. 1011–i. e. 931) bölcsessége között? Az egész kérdés érdekes, de én kifejezetten a 95–102. sorokra összpontosítok:

…el fu re, che chiese senno
acciò che re sufficiente fosse;

non per sapere il numero in che enno
li motor di qua su, o se necesse
con contingente mai necesse fenno;

non, si est dare primum motum esse,
o se del mezzo cerchio far si puote
trïangol sì ch’un retto non avesse.

király volt ő, s a bölcs gondolkodást
ahhoz kérte, hogy trónján megfeleljen.

Nem azt akarta tudni: idefönt
hány mozgató van? Hogy szükségszerű
kapcsolható-e az esetlegeshez?

Hogy kell-e ősmozgást föltételezni?
Hogy félkörbe rajzolni lehet-e
háromszöget, mely nem derékszögű?
(Nádasdy Ádám fordítása)

hogy király volt, és azt a bölcseséget
kérte, amely kell, király-módon élni:

nem az egetmozgató égi népet
számbavenni; sem tudni, hogy necesse
a contigenssel míly tételbe léphet;

sem, si est dare primum motum esse;
sem, hogy félkörbe háromszöget írván
az mindenképen derékszögü lesz-e?
(Babits Mihály fordítása)

Itt többek között két állítást találunk, az egyiket a fizikából, a másikat a geometriából:

• lehetséges, hogy létezik olyan elsődleges mozgás, amelyet nem egy másik mozgás okozott;
• lehetséges, hogy létezik olyan félkörbe írt háromszög, amely nem derékszögű.

Nos, Dante ezeket nyilvánvaló példának tekinti valami hamis dologra, mert ellentmondanak a logikai szükségszerűségnek:

• ha van mozgás, akkor szükségszerűen van valami, egy ok, ami azt létrehozta;
• ha egy háromszög egy félkörbe van beírva, akkor a háromszög szükségszerűen derékszögű, azaz van egy derékszöge.⁶

Most, miközben a fizikai természetű állítás szorosan kapcsolódik a tárgyalt gondolatmenethez (és, mint jól ismert, egyetlen létező Entitás létezéséhez vezet, mely előzetes ok nélkül képes okozni, egy Mozgató, mely maga mozdulatlan),⁷ analóg hivatkozási keretként, egy másik, hasonlóan szükségszerű példát keresve, Dante bármely más területet választhatott volna, különösen a tapasztalati világot. A geometriát választja, mert számára könnyen érthető, természetes, azonnali… És talán azért, mert – hangsúlyozom – az ilyen jellegű tudás elterjedt és magától értetődő volt az akkori irodalmárok és művelt emberek körében.

Figyeljük meg ezeknek a kijelentéseknek a stílusát is, amely pedáns és skolasztikus, repetitív, mintha az egyetemi katedra tanítását próbálnák felidézni, és valószínű, hogy a filozófiai és teológiai kérdéseket valóban így tanították. A geometria sokkal inkább ezekhez a területekhez kapcsolódik, mint másokhoz.

Ezt megerősítendő, a következő sorokat is látjuk (Paradicsom XVII. ének 13–15. sorok):

“O cara piota mia, che sì t’insusi,
che come veggion le terrene menti
non capere in triangol due ottusi,

così vedi le cose contingenti
anzi che sieno in sé, mirando il punto
a cui tutti li tempi son presenti;

„Ó, drága törzsököm, itt vagy az égben,
és ahogy belátják a földi elmék,
hogy nincsen háromszög két tompaszöggel,

úgy látod te a véletleneket
megtörténtük előtt; mert belelátsz
a Pontba, ahol múlt s jövő jelen van.
(Nádasdy Ádám fordítása)

„Óh, drága törzsem! ki Paradicsomba
jutván, miképen látják földi elmék,
hogy háromszögbe csak egy fér be tompa:

látod a véletlenek hirtelenjét
előbb, mint vannak, ama Pontra látva,
ahonnan minden idő csak jelen lét:
(Babits Mihály fordítása)

Dante az imént találkozott a nemes keresztesvitéz ükapjával, Cacciaguidával, és el akarja mondani neki, hogy olyan emelkedettnek, oly magas röptűnek látja a szellemét, ahogy az emberi elme abszolút bizonyossággal látja, hogy egy háromszögnek nem lehet két tompa szöge, úgy látja Cacciaguida a jövő dolgait, mielőtt azok megtörténnének (a kép egyszerűen lenyűgöző: egyfajta időbeli ősrobbanás, az abszolút egyidejűség pontja, az idő nyilának indulása előtt).

Dante ismét egy geometriai példához folyamodik, amikor példát kell adnia a logikai lehetetlenségre (Eukleidész Elemeinek I. könyvének 17. tételéről⁸ van szó, amelyet Arisztotelész a műveiben nem kevesebb, mint 17 alkalommal mondott ki, és teljes egészében a Metafizika 1051a, 24–25.⁹ soraiban bizonyított; Boethius is kimondta, de mint általában, nem bizonyította be).

3. Lezárás és utalások az asztronómus és zenész Dantéra

Kerülök itt minden utalást Dante asztronómusi, ptolemaioszi és arisztotelészi mivoltára (ezt a kötőszót tudatosan, különös hangsúllyal írom, mert lenne miről beszélni…), ami nagyon messzire vezetne. De nem feledjük, hogy az arisztotelészi koncentrikus szférák rendszerének megértéséhez és magyarázatához némi nem triviális elmélkedés szükséges. Másrészt ugyanebben a kötetben egy külön részt szentelünk ennek a témának.

Dante figyelme nem csupán a matematikára (aritmetika és geometria) és az asztronómiára irányult a quadrivium négy tudománya közül, hanem a negyedikre, a zenére is.¹⁰

Nem fogok ebbe a rendkívül érdekes témába belemenni, hiszen a kötet egyik írása kifejezett erről szól, csupán idézek néhány általam jelentősnek tartott tanulmányt. Salvetti, 1971 Pirrotta, 1984 Pirrotta, 1994 Mortara, 2004

Köszönetnyilvánítás

Szeretném kifejezni szívből jövő köszönetemet a bírálónak, aki figyelmesen elolvasta a szöveg egy korábbi változatát, és megalapozott és időszerű javaslatokat tett.

Nagy nyelvi modell segítségével fordította és jegyzetekkel kiegészítette Visontay György