Gödel, Escher, Bach

Úgy tűnik, sokan nem értették meg a könyv célját. Sokan csak a címig jutottak el. Ránéztek a három szóra – Gödel, Escher, Bach – és ha tudták, hogy ki volt ez a három ember, akkor azt mondták magukban: ó, ez a könyv a matematikáról, a művészetről és a zenéről szól.

A Gödel, Escher, Bach – mint már nagyon sokszor elmondtam – az Én szóról szól. A tudatról. Arról, hogyan alakul ki jól elrejtett, alig ismert mechanizmusokból a gondolkodás. Arról, hogy nem csak a gondolkodás, hanem az én és az öntudat is megkülönböztet minket más bonyolult dolgoktól. Arról, hogy az önhivatkozás megértése milyen segítséget jelenthet az öntudat magyarázatában, és hogyan jelenhet meg egy napon az öntudat nagyon bonyolult szerkezetekben, például számítógépekben. Annak a megértésére törekedtem, hogy mi az én, és mi a lélek. Az öntudat csupán drótokon áthaladó elektronok eredménye.

Mégis, sokan úgy kezelték a könyvet, mint valamilyen nagy interdiszciplináris játékot, amelynek csak a szórakozás volt a célja. Nos, a szórakozás csak a hab volt a tortán. Eredetileg a könyv egyedül arról szólt, hogyan bukkant fel a Gödel-tétel bizonyítása egy olyan erőd – Bertrand Russell és Alfred North Whitehead Principia Mathematicajának – közepén, amelynek éppen az volt a célja, hogy kívül tartsa ezt a bizonyítást. Azt gondoltam: íme, itt egy struktúra, amely megkísérli, hogy kizárja az önismeretet, de ha a dolgok elég bonyolulttá és összetetté válnak, akkor – hipp-hopp! – a rendszerben hirtelen megjelenik önmaga. Szerintem az öntudat mélyén ez a trükk van.

Ezért aztán először nem voltak párbeszédek, tréfák, szójátékok, valamint Escherre és Bachra történő hivatkozások, de amikor 1974-ben a kéziratot gépeltem, úgy láttam, hogy kiforratlan a stílusa. Elhatároztam, hogy beleveszem a párbeszédeket és Eschert, emiatt a játékosság egy másodlagos – de nagyon fontos – része lett a könyvnek.

Sokan ezekre a dolgokra koncentráltak, és az egész könyvet egy nagy játékként kezelték. Célom az volt, hogy a könyv eljusson a filozófusokhoz, azokhoz, akik a tudatról és az öntudatról gondolkoznak. Egy viszonylag szűk réteg látta, hogy mi a valódi szándékom, de a legtöbben csak a csillogást látták. Akkoriban úgy éreztem, hogy nagy veszteséget jelentett az a tény, hogy ennyire a pályafutásom elején írtam egy ilyen könyvet, mert senki sem vett többé komolyan.

Természetesen túlzok, amikor azt mondom, hogy „senki”, mert a filozófia és a kognitív tudományok terén általam tisztelt emberek zöme komolyan vett. De az emberek többsége úgy jellemezte a könyvet, mint egy népszerűsítő munkát, vagy mint a Gödel-tétel bő lére eresztett, de szórakoztató bemutatását, ami olyan őrült dolgokat is tartalmaz, mint a molekuláris biológia, a Zen, a festmények és a szójátékok.

Másrészt azt hiszem, ha az összes filozófus azt írta volna:

„Ez a könyvek könyve az öntudatról”, de semmit sem mondott volna a szójátékokról, akkor is szomorú lettem volna, és sértve éreztem volna magam. Mindkét esetben úgy éreztem volna, hogy egy kicsit a háttérbe szorultam. [Nevet.]

A könyv hatása az volt, hogy nagyon sok fiatalt lelkesített. Sok százan írtak nekem arról, hogy a könyv hatására kezdtek számítástechnikával, kognitív tudománnyal vagy filozófiával foglalkozni. Ez pedig mindig nagyszerű dolog. Gyakran azonban úgy kezelik ezt, mint valami mellékes dolgot.

D. R. Hofstadter
Wired, 1995

II. fejezet. A matematikai jelentés és forma

Szonáta szóló-Akhilleuszra

Cseng a telefon, Akhilleusz felveszi.

VIII. fejezet. Tipográfiai Számelmélet

Fordítási rejtvények az olvasónak

Ezzel befejeztük a hat darab tipikus számelméleti mondat átfordítására vonatkozó gyakorlatot. Ettől azonban az olvasó még nem lett szükségszerűen a TSZ [Tipográfiai Számelmélet] jelölésrendszer mestere. Van még néhány rázós dolog, amit el kell sajátítani. A következő hat jól formált képlettel tesztelhetik, hogy értik-e a TSZ jelölésrendszert. Mit jelentenek ezek a képletek? Melyek igazak (értelmezéskor, persze) és melyek hamisak? (Útmutatás: a gyakorlat bal felé haladva kezdhető el. Először fordítsák le az atomot, majd állapítsák meg, hogy egy kvantor $[\forall, \exists]$ vagy egy tilde $[\sim ]$ hozzáadása mit eredményez, azután lépjenek balra, és vegyenek egy újabb kvantort vagy tildét, majd ismét lépjenek balra, és ismételjék meg ugyanezt.)

\begin{align} \mathrm{\sim \forall c:\exists b:(SSO \cdot b)} &=\mathrm{c} \\ \mathrm{\forall c:\sim\exists b:(SSO \cdot b)} &=\mathrm{c} \\ \mathrm{\forall c:\exists b:\sim(SSO \cdot b)} &=\mathrm{c} \\ \mathrm{\sim\exists b:\forall c:(SSO \cdot b)} &=\mathrm{c} \\ \mathrm{\exists b:\sim\forall c:(SSO \cdot b)} &=\mathrm{c} \\ \mathrm{\exists b:\forall c:\sim(SSO \cdot b)} &=\mathrm{c} \\ \end{align}

(Második útmutatás: vagy négy igaz közülük és kettő hamis, vagy négy hamis és kettő igaz.)

212–213. p.

Az öt Peano-posztulátum

Mellesleg, az 1. axióma értelmezése – „a nulla semmilyen természetes számnak sem az utódja” – a természetes számok öt híres tulajdonságának az egyike. Az öt tulajdonságot először Giuseppe Peano matematikus és logikatudós ismerte fel 1889-ben. Posztulátumainak felállításakor Peano Eukleidész útját követte a következőképpen: nem próbálkozott a következtetés alapelveinek a formalizálásával, megpróbálta azonban megadni a természetes számok tulajdonságainak azon kis halmazát, melyből következtetéssel minden más levezethető. Peano kísérlete emiatt „félig formálisnak” tekinthető. Peano munkájának jelentős hatása volt, ezért jó lenne bemutatni Peano öt posztulátumát. Mivel Peano a „természetes szám” fogalmát kísérelte meg definiálni, nem fogjuk használni az ismerős „természetes szám” szavakat, mivel ebben sok a mellékzönge. Azzal a nem definiált szóval helyettesítjük, hogy dzsinn, ami új szó, és nem jutnak róla mellékzöngék az eszünkbe. Ekkor Peano öt posztulátuma öt korlátozást tesz a dzsinnekre. Van még két másik nem definiált szó: Szellem és meta. Önök fogják kitalálni, hogy milyen szokásos fogalmakat szeretnének jelenteni. Az öt Peano-posztulátum:

1. A Szellem dzsinn.
2. Minden dzsinnek van metája (ami szintén dzsinn).
3. A Szellem semelyik dzsinnek sem metája.
4. A különböző dzsinneknek különböző a metája.
5. Ha a Szellem rendelkezik X-szel, és minden dzsinn továbbadja X-et a metájának, akkor minden dzsinn megkapja X-et.

A Kis Harmóniai Labirintus lámpásainak fényében az összes dzsinnek halmazát „ÚR”-nak kell neveznünk. Ez egybecseng azzal a híres állítással, amelyet Leopold Kronecker német matematikus és logikatudós, Georg Cantor ősellensége tett: „a természetes számokat az Úr alkotta, minden más az ember műve”.

Peano ötödik posztulátumában a matematikai indukció alapelve ismerhető fel – ez egy másik szó az öröklődő következtetésre. Peano azt remélte, hogy a „Szellem”-re, „dzsinn”-re és „metá”-ra vonatkozó öt megkötése annyira erős, hogy ha két különböző ember képzeli el ezeket a fogalmakat, akkor a tudatukban lévő két elképzelés teljesen izomorf szerkezet lesz. Például, az összes elképzelésben végtelen számú különböző dzsinn szerepel. És abban is bizonyára mindenki egyetért, hogy egyetlen dzsinn sem esik egybe a metájával, vagy a metájának a metájával stb.

Peano azt remélte, hogy öt posztulátumában sikerül leszögeznie a természetes számok lényegét. A matematikusok általában megegyeznek abban, hogy sikerrel járt, de ez nem csökkenti annak a kérdésnek a fontosságát, hogy „hogyan lehet a természetes számokról szóló igaz állításokat a hamisaktól megkülönböztetni?” Ennek a kérdésnek a megválaszolásához pedig a matematikusok teljesen új formális rendszerekhez fordultak, olyanokhoz, mint a TSZ. Peano hatása azonban a TSZ-ben is látszik majd, mert a TSZ valamilyen formában mindegyik posztulátumát tartalmazza.

216–217. p.

XIII. fejezet. BlooP, FlooP és GlooP

A rend észlelése a megfelelő szűrő megválasztásával

[…] A Gödel-számozás felfedezése megmutatta, hogy bármilyen keresésnek, amely egy különleges tipográfiai tulajdonsággal rendelkező stringet szeretne megtalálni, létezik az aritmetikai unokatestvére: egy különleges aritmetikai tulajdonsággal rendelkező egész szám izomorf keresése. Emiatt a formális rendszerekben a döntési eljárás felkutatása a végtelen hosszú keresések – az egészek közötti káosz – rejtélyének megoldásával egyenértékű. Az Ária különféle változatokkalban azonban talán túl nagy súlyt helyeztem az egészekkel kapcsolatos problémákban a káosz látszólagos megjelenésének. A valóságban a „csodásság” problémájánál sokkal vadabb példákban is sikerült megszelidíteni a látszólagos káoszt. Emiatt Akhilleusznak a számok szabályosságába és megjósolhatóságába vetett erős hite egészen tiszteletre méltó – különösen azért, mert csaknem az összes matematikus hitét tükrözi, 1930-ig bezárólag. Ahhoz, hogy megmutassuk, miért olyan lényeges és bonyolult kérdés a rend és a káosz közötti különbség, valamint hogy hozzákössük a jelentés helyének és megjelenésének kérdéseihez, szeretnék egy szép és emlékezetes részletet idézni a Vajon valódiak-e a számok? című műből – a néhai J. M. Jauch egy Galileire emlékeztető dialógusából:

„Salviati. Tegyük fel, hogy adok önnek két olyan számsorozatot, mint például a

$$7\ 8\ 5\ 3\ 9\ 8\ 1\ 6\ 3\ 3\ 9\ 7\ 4\ 4\ 8\ 3\ 0\ 9\ 6\ 1\ 5\ 6\ 6\ 0\ 8\ 4$$

és az

$$1, -\frac{1}{3}, +\frac{1}{5}, -\frac{1}{7}, +\frac{1}{9}, -\frac{1}{11}, +\frac{1}{13}, -\frac{1}{15},\dots$$

Ha azt kérdezném öntől, Simplicio, hogy mi a következő szám az első sorozatban, akkor mit mondana?

Simplico. Nem tudnám megmondani. Azt hiszem, véletlenszerű a sorozat, és nincs benne rendszer.

Salviati. És mi a helyzet a második sorozatnál?

Simplico. Könnyű lenne a válasz. +$\frac{1}{17}$.

Salviati. Úgy van. De mit mondana, ha elárulnám önnek, hogy az első sorozat szintén szabályszerű, mi több, ez a szabály megegyezik azzal, amit az imént a második sorozatnál felfedezett?

Simplico. Számomra ez nem látszik túl valószínűnek.

Salviati. Pedig valóban így van, mivel az első sorozat egyszerűen a második sorozat összegéből képzett tizedes tört eleje. Ennek értéke $\frac{\pi}{4}$.

Simplico. Önnek számtalan ilyen matematikai mutatványa van, de nem látom, hogy mindez milyen kapcsolatban áll az absztrakcióval és a valósággal.

Salviati. Az absztrakcióval való kapcsolat könnyen látható. Az első sorozat csak akkor látszik véletlenszerűnek, ha még nem alkottunk az absztrakció segítségével egy olyan szűrőt, amellyel a látszólagos káosz mögötti egyszerű szerkezet láthatóvá válik. Pontosan ilyen módon szokták felfedezni a természeti törvényeket. A természet számos jelensége többnyire csak kaotikus véletlennek látszik, amíg ki nem választunk néhány lényeges eseményt, és idealizálással el nem vonatkoztatunk az egyedi, lényegtelen körülményektől. Csak ekkor jelenik meg teljes fényben az igazi szerkezetük.

Sagredo. Ez egy csodálatos gondolat! Azt sugallja, hogy ha megpróbáljuk megérteni a természetet, akkor úgy kell tekintenünk a jelenségeit, mintha megérteni kívánt üzenetek lennének, eltekintve attól, hogy mindegyik üzenet véletlenszerűnek látszik, amíg létre nem hozunk egy kódot, amellyel elolvashatók. Ez a kód az absztrakció formáját ölti, vagyis kiválasztunk bizonyos dolgokat, melyek elhagyhatók, és így egy szabad választás révén részben megválasztjuk az üzenet tartalmát. A lényegtelen jelek alkotják a »háttérzajt«, amely korlátozni fogja az üzenetünk pontosságát. Mivel azonban a kód nem abszolút, ugyanabban a nyers adathalmazban szmos különböző üzenet lehet, emiatt a kód megváltoztatásával az előzővel megegyező jelentőségű üzenethez jutunk valami olyanból, ami előzőleg csupán csak zaj volt, és megfordítva: egy új kóddal a korábbi üzenet értelmetlenné válhat. Emiatt a kód szabad választást feltételez a különféle, egymást kiegészítő szempontok között, és mindegyik szempont egyformán igényt tart a valóságra, ha használhatom ezt a kétes szót. A szempontok némelyike teljesen ismeretlen lehet a számunkra, de feltárulkozik egy olyan megfigyelő számára, akinek más absztrakciós rendszere van. De mondja, Salviati, hogyan állíthatjuk, hogy felfedeztünk valamit ott kint, az objektív valóságos világban? Nem jelenti ez azt, hogy csupán a saját elképzeléseink szerint alkotjuk meg a dolgokat és hogy ez a valóság csak bennünk létezik?

Salviati. Nem hiszem, hogy ez szükségszerűen így van, de a kérdés több meggondolást igényel.

Jauch itt olyan üzenetekkel foglalkozik, amelyek nem egy »értelmes lénytől«, hanem magától a természettől érkeznek. A VI. fejezetben a jelentés és az üzenetek kapcsolatáról felvetett kérdéseink a természetből érkező üzenetek esetén ugyanúgy felvethetők. Vajon kaotikus-e a természet, vagy szabályszerű? És mi az intelligencia szerepe, ha szeretnénk választ kapni erre a kérdésre? […]”