Szívesen töltöttem volna a nyár egy részét a görög tengerparton, de utazás helyett be kellett érnem azzal, hogy a Horváth Antikvárium tulajdonosa ráirányította figyelmemet Gellius Attikai éjszakák című művének alábbi részletére:
„Milyen mennyiséget jelent a hemiolios (másfél) és milyet az epitritos (négyharmad) s hogy ezeket a szavakat a mieink nem igen merték latin nyelvre fordítani.
Néhány számviszonyra, amit a görögök meghatározott nevekkel jelölnek, a latin nyelvben nincs kifejezés. Azok is, akik a számok tudományáról latinul írtak, magukat a görög kifejezéseket használták s nem akartak szókat képezni a mi nyelvünkből, mivel az képtelen dolog lett volna.
Milyen neve lehetett volna ugyanis a hemiolios és az epitritos számviszonynak? A hemiolios ugyanis valamely egészet s annak felét foglalja magában, mint 3 a 2, 15 a 10, 30 a 20-hoz viszonyítva. Az epitritos pedig egy egész számot s annak egy harmadrészét jelenti, mint 4 a 3-hoz, 12 a 9-hez, 40 a 30-hoz viszonyítva. Ezeket feljegyezni és felemlíteni nem láttam tárgytalannak, mert ha e számviszonyok kifejezéseit nem értjük, a bölcsészek munkáiban megírt igen finom számításokat nem tudjuk felfogni.”
Felébredt bennem a kíváncsiság: miféle bölcsészekre és főleg miféle számításokra utal az amúgy bölcsész szerző alig-alig burkolt fenyegetése? Példának okáért, Euklidész alábbi levezetésének ismerete nélkül többnyire egészen jól elvan az ember, de elvolt már az ókori Rómában is (gyengébb idegzetűek átugorhatják az idézetet):
„[…] amiből a gömb átmérője négyzetértékben hat egység, abból a gúla éle négy, az oktaéder éle három, a kocka éle pedig két egység. A gúla éle tehát négyzetértékben az oktaéder élének négyharmada, a kocka élének kétszerese, az oktaéder éle pedig a kockáénak másfélszerese. A három test említett élei tehát – ti. a gúláé, az oktaéderé és a kockáé racionális arányban állnak egymással. A többi kettő viszont, ti. az ikozaéderé és a dodekaéderé, sem egymással, sem az előbb említettekkel nem áll racionális arányban, hiszen irracionálisak […]”
A Györkösy-féle Ógörög–magyar nagyszótár a ’négyharmad’ szó eredetét a Plat. rövidítéssel intézi el,(1) márpedig a Platón összes(2) három vastag kötetre rúg. Némi segítséget nyújthat számunkra a keresésben a matematikus Øystein Øre megjegyzése:
„Sok adatunk van az ókori görögök számmisztikájáról, azaz ismerjük különböző számok jelképes jelentéséről alkotott vélekedéseiket és babonáikat. […] Ha valaki példákat óhajt látni a magasabb szintű számmisztikára, vegye elő Platón Állam című művét, és olvassa el annak 8. könyvét. Bár az ilyenféle számmisztika nem mutat valami sokat a matematikai elgondolások alakulásáról, mégis van benne valami kis mesterkedés a számokkal és tulajdonságaikkal. Később látni fogjuk, hogy a görög számmisztikából ered a számelmélet néhány olyan nevezetes problémája, amely még ma is foglalkoztatja a matematikusokat.”
És valóban, a megjelölt könyvben így érvel Szókratész:
„Ami pedig a ti nemzetségtek termékenységét és meddőségét illeti, akármilyen bölcsek is azok, akiket az állam vezetőiül neveltetek fel, nem fognak tapasztalattal párosult okoskodásukkal több eredményt elérni, mert a helyes megoldás elkerüli a figyelmüket, s néha olyankor is nemzenek gyermekeket, amikor nem volna szabad. Az isteni nemzetségnek van egy körforgása, melyet tökéletes szám foglal egybe; az emberi nemzetség pedig egy olyan szám, amelynek legkisebb formájában bizonyos uralkodó és alárendelt szorzások, három közt és négy tagot alkotva – a hasonlóság és különbözőség, a növekedés és fogyás útján – az összes tagokat egymásnak megfelelővé és egymással összemérhetővé teszik. E számok négyharmados alapja öttel összekötve, s háromszor megszorozva két összhangot eredményez: az egyiket úgy nyerjük, ha egyenlőt egyenlővel, s százat százzal szorzunk, míg a másiknak a tényezői részben egyenlők, részben egyenlőtlenek, vagyis az »öt« racionális átlóinak százszoros négyzete, ha tudniillik mindegyikből egyet kivonunk, illetve az irracionális átlóké, ha kettőt vonunk ki belőlük – és a háromnak százszoros köbe. Ez az egész egy »mértani« számot alkot, amely a jobb és rosszabb születések kérdésében dönt; márpedig ha őreink ezeket nem ismerik fel, s az ifjakat a hajadonokkal időszerűtlenül házasítják össze, akkor nem születhetnek jó növésű és szerencsés ivadékok; s ezek közül a legjobbakat fogják ugyan elődeik az élre állítani, de mivel nem odavalók, az apjuk hatalmi polcára jutva azzal fogják kezdeni, hogy őr létükre mindenekelőtt bennünket hanyagolnak el […]”
Egyszóval a jövőnkről van szó! Arisztotelész sem akart lemaradni és kritikával illette Platón gondolatmenetét:
„A Politeiában [Állam] Szókratész is szól a forradalmakról, de nem helyesen, mert nem szól a legjobb és legeredetibb alkotmányok sajátos változásáról. Okként azt említi, hogy semmi sem maradandó, hanem ciklikusan változik; a változás kezdete pedig »azon számoknak az alapmennyisége, melyek egymással 4:3 viszonyban vannak, s melyek az ötös számmal összefoglalva kettős harmóniát alkotnak«; arra az esetre érti ezt, mikor ennek az alakzatnak száma szilárd, és rámutat, hogy néha a természet is selejtes embereket termel, akiken még a nevelés sem fog […]”
Megjegyzem, hogy Platón számmisztikájában nyugodtan támaszkodhatott a püthagoreusok tanításaira is. Bár az általuk használt elnevezéseket nem ismerem, zeneelméletükben a (4:3) arány [azaz a kvart] alapvető szereppel bírt.
A ’másfél’ szót már nehezebb volt megtalálni Platón Phaidónjának az ideákról szóló okoskodásában:
„Az ötös nem fogadja be a páros ideáját, sem a tízes, a kétszerese, a páratlanét. Hiszen önmagában ugyancsak nem ellentétes semmivel, mégsem fogadja be a páratlan fogalmát; éppígy sem a másfél, sem a többi efféle, félmivoltában, az egésznek a fogalmát, sem a harmadrész és minden efféle, ha ugyan követni tudsz és te is így látod.”
A keresett szavak számos más szerzőnél is szerepelnek (például a ’négyharmad’ Plutarkhosznál, a ’másfél’ Galénosznál, de az előfordulások nagy többsége kommentár.
Újraolvasva Platón figyelmeztetését, miszerint
„a legjobbakat fogják ugyan elődeik az élre állítani, de mivel nem odavalók, az apjuk hatalmi polcára jutva azzal fogják kezdeni, hogy őr létükre mindenekelőtt bennünket hanyagolnak el”
rossz érzés kerített hatalmába: matematikai tájékozatlanságunk folyományaként már jó ideje megvalósult volna a Platóni idea?