Tartaglia capitolója

Sokan hallhattak Tartaglia¹ Cardanó-val² való konfliktusáról. Cardano rávette Tartagliát, hogy árulja el a harmadfokú egyenlet megoldóképletét, és ígéretet tett, hogy nem adja tovább. Tartaglia a megoldást versalakban el is küldte. Jó néhány évvel később, Cardano kezébe akadt Scipione del Ferro³ egy kiadatlan munkája, amelyben teljesen függetlenül Tartaglia megoldása szerepelt. Mivel a mű korábbi keltezésű volt, mint a Tartagliáé, Cardano úgy gondolta, hogy az ígérete már nem érvényes, és következő művébe bevette Tartaglia megoldását. Nem titkolta, hogy részben Tartagliától származik, aki mégis nagyon felháborodott és nyilvánosan személyes és szakmai sértésekkel illette Cardanót.

A vers olasz eredetije művészi kidolgozású. Tartaglia egy sajátos versformát választott – az úgynevezett capitolo-t, amely igen bonyolult szerkezetű. A capitolo az úgynevezett terza rima-ban (a magyar irodalmi nyelvben: tercina) íródik, amelynek szerkezete háromsoros versszakokból áll: az 1–3., 4–6., 7–9. sorok stb. alkotnak egy-egy egységet, ahol az első és a harmadik sor rímel egymásra. E versforma különlegessége, hogy egy tercet középső sora a következő hármas első és harmadik sorával rímel. Ha a sorokat betűkkel jelöljük, ahol az azonos betűk azonos rímet jelentenek, a terza rima mintája: aba, bcb, cdc, ded és így tovább.

Mellesleg, a terza rima versforma először Dante Poklában jelent meg. Talán Tartaglia tudat alatt arra ösztökélte Cardanót, hogy „hagyjon fel minden reménnyel” a harmadfokú egyenlet megoldását illetően.

A vers soronkénti elemzése

A korabeli gondolkodásmód fogalmi keretei

Tartaglia gondolkodásmódja egészen sajátos volt, mert a 16. századi algebra még nem rendelkezett a mai fogalmi készlettel. Ő nem „egyenletekben”, „változókban” vagy „függvényekben” gondolkodott, hanem geometriai‑aritmetikai mennyiségekben, amelyekhez költői vagy képi leírásokat társított.

Íme a legfontosabb fogalmi keretei:

1. A számok mint geometriai testek

Tartaglia számára a „kocka” nem absztrakt ($x^3$), hanem térbeli test, amelynek „oldalai” összeadhatók vagy „egyesíthetők”.

A kockaegyenlet megoldása nála:

• kockák,
• téglatestek,
• „összekapcsolt oldalak” viszonyaként jelenik meg.

Ezért írja: „a kockák oldalait egybefűzve hozd elő” — ez egy algebrai művelet geometriai metaforája.

2. A műveletek mint mechanikus vagy térbeli eljárások

A „torrai li lati cubi insieme gionti” nem puszta összeadás, hanem két térbeli mennyiség egyesítése.

Tartaglia gondolkodásában a műveletek gyakran:

• „összekötések”
• „hozzáillesztések”
• „szétválasztások”
• „kivágások”.

Ez a reneszánsz geometriai algebra öröksége.

3. A szabály mint recept vagy „precetto”

A „commun precetto” nem axióma vagy algebrai szabály, hanem mesterfogás, egyfajta recept, amelyet követni kell.

A matematika ekkor még félig kézműves tudás: a szabályt „alkalmazni” kell, nem levezetni.

4. A megoldás mint „concetto”

A „concetto” szó itt nem „fogalom”, hanem a megoldás gondolati képe, a helyes konstrukció felismerése.

A megoldás nem egy szám, hanem egy helyes eljárás.

5. A problémák típusokba sorolása

Tartaglia a harmadfokú egyenleteket nem általános alakban kezeli, hanem típusok szerint:

• $x^3 + px = q$
• $x^3 = px + q$
• stb.

Minden típushoz külön „precetto” tartozik.

A modern algebrai egységesítés (Cardano) csak később jelenik meg.

Hogyan képzeljük el a feladat megoldását?

A 16. századi itáliai mesterek számára az algebra nem betűk tologatása volt, hanem térbeli építészet.

Nézzük meg szemléletesen, mi a különbség a két forma között:

1. A binomio (Az építkezés: $x = a + b$)

Képzeld el, hogy van két különböző méretű kockád ($u$ és $v$ köbgyökei). Ha ezeket összeadod, és ebből építesz egy nagyobb kockát, a nagy kocka térfogata nem csak a két kis kockából fog állni.

• Kell hozzá a két kocka.
• És kell hozzá három darab téglatest, amik kitöltik a réseket, hogy újra egy tökéletes kockát kapj.
• A szemlélet: Itt az egész ($x^3$) egyenlő a részek összegével ($px + q$). Ezért hívják binomiónak (két tag összege).

2. A residuo (A kivonás: $x = a - b$)

Ez az, amit te írtál: ez a „maradék”.

• Vegyünk egy nagy kockát ($a^3$).
• Vágjunk ki a sarkából egy kisebb kockát ($b^3$).
• Ami megmarad, az a residuo. De ez a maradék egy furcsa, csorba alakzat. Ahhoz, hogy ezt az alakzatot leírjuk az egyenlet nyelvére, a „szélein” maradt téglatesteket kell vizsgálnunk.
• A szemlélet: Itt a „maradék” ($x$) köbe, plusz a széleken lévő darabok ($px$) adják ki az eredeti nagy egészet ($q$). Ezért az egyenlet alakja: $x^3 + px = q$.

Niccolò Tartaglia harmadfokú egyenletmegoldását (amelyet ma Cardano-képletként ismerünk) leginkább egy kocka feldarabolásával lehet szemléltetni. Akkoriban a negatív számokat nem használták, így az algebrai problémákat geometriai testek térfogataként képzelték el.

A feladatmegoldás ábrázolása

Az ábrázoláshoz kövessük az alábbi logikai lépéseket:

1. A kocka felosztása (geometriai alap)

A megoldás alapja az $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ azonosság geometriai megfelelője.

• Képzeljünk el egy nagy kockát, amelynek oldala $u$ (térfogata $u^{3}$).
• Ebből „vágjunk ki” egy kisebb kockát a sarokból, amelynek oldala $v$ (térfogata $v^{3}$).
• A maradék testet Tartaglia úgy osztotta fel, hogy az megfeleljen az $x^{3}+px=q$ alakú egyenletnek.

2. Az egyenlet elemeinek megfeleltetése

Az ábrázolás során a következő kapcsolatokat használjuk:

• $x$ (az ismeretlen): A két kocka oldalélénak különbsége, azaz $x=u-v$ .
• $q$ (a konstans): A két kocka térfogatának különbsége ($u^{3}-v^{3}=q$).
• $p$ (az elsőfokú tag együtthatója): A kockák közötti térfogatrészek (három téglatest) elrendezéséből adódik, ahol $3uv=p$.

3. Lerajzolva

Ha vizuálisan szeretnénk megjeleníteni, érdemes egy axonometrikus rajzot készíteni egy nagy kockáról:

1. Jelöljük a nagy élhosszt $u$-val, a kicsit $v$-vel.
2. Az $u^{3}$ térfogatú kockát bontsuk szét:
   • Egy $v$ élhosszú és $v^{3}$ térfogatú kiskockára.
   • Egy $x^{3}$ térfogatú kockára ($x=u-v$).
   • Három $x, u, v$ élhosszúságú téglatestre (ezek adják ki a $3uvx$, azaz $px$ részt).
3. Az ábrán így láthatóvá válik, hogy az $x$ oldalhosszúságú kocka ($x^{3}$) és a három téglatest ($px$) együttesen kiteszi a nagy és a kis kocka térfogatának különbségét ($q$).

Ez a módszer segített Tartagliának abban, hogy tisztán logikai úton, képletek nélkül is „lássa” a megoldást, amit később a versében örökített meg.

A megoldás modern jelöléssel

Friedrich Katscher: How Tartaglia Solved the Cubic Equation—Tartaglia’s Solution in Modern Notation. = Convergence (Augustus 2011).

Tartaglia korában a matematikusok még nem használtak negatív számokat az együtthatók jelölésére, így minden egyenletet úgy rendeztek, hogy minden tag pozitív legyen. Ezért volt három külön esetük arra, amit mi ma egyetlen képlettel ($x^3 + px + q = 0$) leírunk:

$$\mathbb{\textbf{(A)}}\ \ x^3 + px = q$$ $$\mathbb{\textbf{(B)}}\ \ x^3 = px + q$$ $$\mathbb{\textbf{(C)}}\ \ x^3 + q = px$$

Először modern jelölésmóddal ismertetjük az $\mathbb{\textbf{(A)}}$ $x^3+px=q$ egyenlet megoldási módszerét. Ha köbre emeljük a két köbgyök különbségét, $\sqrt[3]{u} - \sqrt[3]{v},$ — ahol akkoriban mindig feltételezték, hogy $u > v,$ —, akkor a következőt kapjuk:

$${\big( {\sqrt[3]{u} - \sqrt[3]{v}}\big)}^3 = u - 3{\sqrt[3]{u}}{\sqrt[3]{v}}\big( {\sqrt[3]{u}}-{\sqrt[3]{v}}\big) - v,$$

vagy

$${\big( {\sqrt[3]{u} - \sqrt[3]{v}}\big)}^3 + 3{\sqrt[3]{uv}}\big( {\sqrt[3]{u}}-{\sqrt[3]{v}}\big) = u - v.$$

Ha ezt összevetjük az

$$x^3+px=q$$

egyenlettel, akkor $\sqrt[3]{u} - \sqrt[3]{v}$ felel meg az $x$-nek, $3{\sqrt[3]{uv}}$ a $p$-nek és a $u-v$ a $q$-nak. A $3{\sqrt[3]{uv}} = p,$ összefüggésből megkapjuk az $uv = \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3,$ egyenletet, amely az $u-v = q,$ feltétellel kombinálva az alábbi, pozitív megoldásokkal rendelkező másodfokú egyenleteket adja: $u^2 - qu - \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3 = 0$ és $v^2 + qv - \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3 = 0$: $$u = \frac{q}{2} + \sqrt{\Big({\frac{q}{2}}\Big)^2 + \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3}$$ $$v = -\frac{q}{2} + \sqrt{\Big({\frac{q}{2}}\Big)^2 + \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3}$$

Ezért, figyelembe véve, hogy $x = \sqrt[3]{u} - \sqrt[3]{v},$ az $\mathbb{\textbf{(A)}}$ egyenlet explicit megoldása modern jelölésmóddal a következő: $$x = \sqrt[3]{ \sqrt{\Big({\frac{q}{2}}\Big)^2 + \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3}+\frac{q}{2}} - \sqrt[3]{ \sqrt{\Big({\frac{q}{2}}\Big)^2 + \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3}-\frac{q}{2}}.$$

A $\mathbb{\textbf{(B)}}$ $x^3=px+q$ esetben a megoldáshoz vezető út a a két köbgyök összegének köbre emelésével kezdődik:

$${\big( {\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}}\big)}^3 = 3{\sqrt[3]{uv}} \big( {\sqrt[3]{u}}+{\sqrt[3]{v}}\big) + u + v.$$

Összevetve ezt az

$$x^3=px+q$$

egyenlettel, ismét azt kapjuk, hogy $uv = \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3;$ ezúttal azonban $u+v = q$ és $x = \sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}.$

A másodfokú egyenleteket megoldva ekkor a következőt kapjuk:

$$u = \frac{q}{2} + \sqrt{\Big({\frac{q}{2}}\Big)^2 - \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3}$$ $$v = \frac{q}{2} - \sqrt{\Big({\frac{q}{2}}\Big)^2 - \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3}$$

feltéve, hogy $\Big({\frac{q}{2}}\Big)^2 \ge \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3 .$

Ezért a $\mathbb{\textbf{(B)}}$ egyenlet explicit megoldása modern jelölésmóddal a következő:

$$x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{ \Big({\frac{q}{2}}\Big)^2 - \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\Big({\frac{q}{2}}\Big)^2 - \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3}}.$$

Azonos $p$ és $q$ értékek mellett a $\mathbb{\textbf{(C)}}$ $x^3+q=px$ egyenletnek ugyanaz a megoldása, mint a $\mathbb{\textbf{(B)}}$, egyenletnek, azonban ellentétes előjellel.

$$x = -\sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{ \Big({\frac{q}{2}}\Big)^2 - \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3}} - \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\Big({\frac{q}{2}}\Big)^2 - \Big({\frac{p}{3}}\Big)^3}}.$$

Ez azért van így, mert a $\mathbb{\textbf{(C)}}$ egyenlet ellentétes előjelekkel felírva, $-x^3+q=-px$, azonos a $\mathbb{\textbf{(B)}}$, egyenlettel, azaz az $x^3=px+q$ alakkal.

Mivel akkoriban a $\mathbb{\textbf{(C)}}$ típus negatív megoldását elvetették, a legtöbb korabeli matematikus nem foglalkozott ezzel a fajta harmadfokú egyenlettel.

A vers modern terminológiával, angolul

Tartaglia solving the cubic—in verse. = Poetry with Mathematics, January 25, 2016.

Megjegyzés: Az alábbi versben az egyenlet komponensei a rím kedvéért más betűjelet kaptak: p ⟶ m, q ⟶ n, u ⟶ r, v ⟶ s.

(Összeállította Visontay György)